数学的基礎
まず最初に、物理的媒体内のエネルギーの連続的な保存に関する一般熱伝導方程式から始めます：
$$\frac{\partial}{\partial x} \left( k \frac{\partial u}{\partial x} \right) + \frac{\partial}{\partial y} \left( k \frac{\partial u}{\partial x} \right) + \frac{\partial}{\partial z} \left( k \frac{\partial u}{\partial z} \right) = c \rho \frac{\partial u}{\partial t}$$
ここで、$u(x, y, z, t)$ は温度分布を表し、$k$、$c$、$\rho$ は媒体の物理的性質を表します。この方程式は美しくも思えますが、変数係数のため、解析的に解くのが難しくなることがあります。
等方性の簡略化
計算への橋渡しを行うために、主な簡略化制約として、 等方性体。
物体が 等方性 各点における熱伝導率が、その点を通る熱流の方向に依存しない場合にいいます。
この仮定のもと、$k$ は空間微分に対して定数となり、支配的な法則をよく知られた ラプラシアン形：
$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = \frac{c \rho}{k} \frac{\partial u}{\partial t}$$
現実への橋渡し
長さ $l$ の細長い銅棒を考えましょう。微積分を使えば、温度分布に対する洗練された二階偏微分方程式を書くことができますが、棒の環境や内部熱源の変化があると、「鉛筆と紙」での解法はほぼ不可能になります。このような現実の幾何形状において閉形式の解析解を持たないため、計算による移行が不可欠です。